Question

将奇函数的图象关于原点（即（0，0））对称这一性质进行拓广，有下面的结论：
①函数y=f（x）满足f（a+x）+f（a-x）=2b的充要条件是y=f（x）的图象关于点（a，b）成中心对称．
②函数y=f（x）满足F（x）=f（x+a）-f（a）为奇函数的充要条件是y=f（x）的图象关于点（a，f（a））成中心对称（注：若a不属于x的定义域时，则f（a）不存在）．
利用上述结论完成下列各题：
（1）写出函数f（x）=tanx的图象的对称中心的坐标，并加以证明．
（2）已知m（m≠-1）为实数，试问函数的图象是否关于某一点成中心对称？若是，求出对称中心的坐标并说明理由；若不是，请说明理由．
（3）若函数的图象关于点成中心对称，求t的值．

Answer

（1）根据正切函数图象观察出图象的对称中心的坐标为再利用①进行证明．
（2）将函数化成，据其简图可知对称中心的坐标为（1，1）．再利用②进行证明．
（3）若函数的图象关于点成中心对称，则）由结论②为奇函数，从而转化为，求t的取值即可．
【解析】
（1）函数f（x）=tanx的图象的对称中心的坐标为（k∈N*）．    …（2分）
当k=2n（n∈N*）时，；
当k=2n+1（n∈N*）时，，得证．                   …（6分）
（2）由，得f（x）的图象的对称中心的坐标为（1，1）．…（9分），由结论①得，对实数m（m≠-1），函数的图象关于点（1，1）成中心对称．   …（12分）
（3）由结论②为奇函数，…（14分）
其中g（x）=x为奇函数，故为偶函数
于是，由h（x）=h（-x）可得，…（16分）
因此，，解得为所求．                                 …（18分）