Question

在等差数列{a_n}中，公差为d，前n项和为S_n．在等比数列{b_n}中，公比为q，前n项和为S'_n（n∈N^*）．
（1）在等差数列{a_n}中，已知S₁₀=30，S₂₀=100，求S₃₀．
（2）在等差数列{a_n}中，根据要求完成下列表格，并对①、②式加以证明（其中m、m₁、m₂、n∈N^*）．

用Sm表示S2m	S2m=2Sm+m^2d
用、表示	=______①
用Sm表示Snm	Snm=______②

（3）在下列各题中，任选一题进行解答，不必证明，解答正确得到相应的分数（若选做二题或更多题，则只批阅其中分值最高的一题，其余各题的解答，不管正确与否，一律视为无效，不予批阅）：
（ⅰ） 类比（2）中①式，在等比数列{b_n}中，写出相应的结论．
（ⅱ） （解答本题，最多得5分）类比（2）中②式，在等比数列{b_n}中，写出相应的结论．
（ⅲ） （解答本题，最多得6分）在等差数列{a_n}中，将（2）中的①推广到一般情况．
（ⅳ） （解答本题，最多得6分）在等比数列{b_n}中，将（2）中的①推广到一般情况．

Answer

（1）由S10=30，S20=100，得10a1+45d=30，20a1+190d=100，解得，，由此能求出S30．
（2）①．证明：由，知=，由此得证．
②（或写成Snm=nSm+Cn2m2d，n≥2）．证明：，，由此得证．
（3）（ⅰ）．
（ⅱ）．
（ⅲ） +m2mn）+…+mn-1mn]d，（n≥2）．（或写成，（n≥2））．
（ⅳ），（n≥2）．
【解析】
（1）由S10=30，S20=100，得10a1+45d=30，20a1+190d=100，
解得，，…（2分）
故S30=210．                                                     …（4分）
（2）①．                                   …（6分）
证明：∵，
∴
=
=．       …（8分）
②（或写成Snm=nSm+Cn2m2d，n≥2）．       …（10分）
证明：∵，
∴
=
=．  …（12分）
（3）（ⅰ）．                                     …（16分）
（ⅱ）…（17分）
（ⅲ） +m2mn）+…+mn-1mn]d，（n≥2）．（或写成，（n≥2））．                   …（18分）
（ⅳ），（n≥2）． …（18分）