Question

数列{a_n}中，a_n=|n-k|+|n+2k|，若对任意的正整数n，a_n≥a₃=a₄都成立，则k的取值范围为    ．

Answer

由绝对值不等式的性质可知：an=|n-k|+|n+2k|=|n-k|+|-2k-n|≥|n-k-2k-n|=|3k|，当且仅当（n-k）（-2k-n）≥0时，an取得最小值，再根据an≥a3=a4恒成立，故a3=a4为最小值，从而可求k的取值范围．
【解析】
an=|n-k|+|n+2k|=|n-k|+|-2k-n|≥|n-k-2k-n|=|3k|，
当且仅当（n-k）（-2k-n）≥0时，即当且仅当
k＞0时，-2k≤n≤k时，an取得最小值，又因为an≥a3=a4恒成立，故a3=a4为最小值，即-2k≤3≤k，且-2k≤4≤k，解得k≥4；
k＜0时，k≤n≤-2k时，an取得最小值，又因为an≥a3=a4恒成立，故a3=a4为最小值，即k≤3≤-2k，且k≤4≤-2k，解得k≤-2；
故答案为k≤-2或k≥4．