Question

（1）若等比数列{a_n}的前n项和为S_n=3•2ⁿ+a，求实数a的值；
（2）对于非常数列{a_n}有下面的结论：若数列{a_n}为等比数列，则该数列的前n项和为S_n=Aa_n+B（A，B为常数）．判断它的逆命题是真命题还是假命题，并说明理由．
（3）若数列{a_n}为等差数列，则该数列的前n项和为．对其逆命题进行研究，写出你的结论，并说明理由．

Answer

（1）令n=1，得到S1=a1，求出首项a1的值，然后根据an=Sn-Sn-1，得出通项公式，把a1的值代入即可求出a的值；
（2）写出已知命题的逆命题，判断得到其逆命题为假命题，可以举一个反例来说明；
（3）写出已知命题的逆命题，判断得到其逆命题为真命题，可以利用数学归纳法来证明，令n=3，代入已知的Sn中，得到2a2=a1+a3，可得此数列为等差数列，然后设n=k时，数列{an}是等差数列，推理得到n=k+1时，数列也为等差数列，故此命题为真命题．
【解析】
（1）a1=6+a，（1分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3•2n-3•2n-1=3•2n-1（2分），
因为数列{an}为等比数列，所以a1满足an的表达式，即6+a=3•2，a=-3；（4分）
（2）逆命题：数列{an}是非常数数列，若其前n项和Sn=Aan+B（A，B为常数），则该数列是等比数列
判断：是假命题． （7分）
直接举反例，当A=0，B≠0时，数列{an}为：B，0，0，0，
故其前n项和满足Sn=Aan+B（A，B为常数），但不是等比数列；（10分）
（3）逆命题：若数列{an}的前n项和，则该数列是等差数列．
为真命题． （12分）
证明：n=3时，由2（a1+a2+a3）=3a1+3a3⇒2a2=a1+a3，命题成立，（13分）
假设n=k，（k≥3），时，数列{an}是等差数列，
当n=k+1时，2（Sk+ak+1）=（k+1）（a1+ak+1），设ak=a1+（k-1）d
则（k-1）ak+1=（k-1）（a1+kd）…（16分）ak+1=a1+kd，即当n=k+1时，命题成立，（17分）
由数学归纳法可知，逆命题成立．（18分）