Question

已知等差数列a_n中，公差d＞0，其前n项和为S_n，且满足a₂•a₃=45，a₁+a₄=14．
（1）求数列a_n的通项公式；
（2）设由（c≠0）构成的新数列为b_n，求证：当且仅当时，数列b_n是等差数列；
（3）对于（2）中的等差数列b_n，设（n∈N^*），数列c_n的前n项和为T_n，现有数列f（n），（n∈N^*），
求证：存在整数M，使f（n）≤M对一切n∈N^*都成立，并求出M的最小值．

Answer

（1）根据题意，由等差数列的性质，有a1+a4=a2+a3=14，与a2•a3=45联立，计算可得数列{an}的通项公式；
（2）首先计算Sn，代入数列 ，可得其通项公式，运用等差中项的性质分析，可得答案．
（3）根据题意，对于存在性问题，可先假设存在，即存在整数M，使f（n）≤M对一切n∈N*都成立，再将数列{an}的通项公式代入bn可得bn的通项公式，进而运算消项求和法，求出M的最小值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
【解析】
（1）∵等差数列an中，公差d＞0，
∴（4分）
（2），=，（6分）
由2b2=b1+b3得，化简得2c2+c=0，c≠0，∴（8分）
反之，令，即得bn=2n，显然数列bn为等差数列，
∴当且仅当时，数列bn为等差数列．（10分）
（3）∵
∴（12分）
∵，而n≥2时
∴f（n）在n≥2时为单调递减数列，此时f（n）max=f（2）=2（14分）
∴存在不小于2的整数，使f（n）≤2对一切n∈N*都成立，Mmin=2（16分）