Question

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，公差为2，在等比数列{b_n}中，当n≥2时，b₂+b₃+…+b_n=2ⁿ+p（p为常数），
（1）求a_n和S_n；
（2）求b₁，p和b_n；
（3）若T_n=对于一切正整数n，均有T_n≤C恒成立，求C的最小值．

Answer

（1）根据等差数列的性质，以及数列的通项公式和求和公式，可求出所求；
（2）根据b2+b3+…+bn=2n+p得到b2+b3+…+bn+bn+1=2n+1+p，将两式相减可求出数列{bn}的通项公式以及b1，p；
（3）若Tn=对于一切正整数n，均有Tn≤C恒成立，则需C大于或等于Tn的最大值，然后研究Tn的单调性可求出最大值，从而求出所求．
【解析】
（1）因为等差数列数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，d=2
an=2n，（n∈N*）；Sn=n2+n；…（2分）
（2）由于当n≥2时，b2+b3+…+bn=2n+p（p为常数），
b2+b3+…+bn+bn+1=2n+1+p
两式相减得：bn+1=2n，…（4分）
因为数列{bn}为等比数列，所以b1=1，b2=2，
由条件可得p=-2，bn=2n-1，（n∈N*）；…（7分）
（3）因为Tn=，若Tn=对于一切正整数n，均有Tn≤C恒成立，
则需C大于或等于Tn的最大值，…（8分）
=×=，…（10分）
令≥1得：n≤2，
即有：T1=2≤T2=3=T3=3≥T4=≥T5=≥…≥Tn≥…，…（12分）
即数列{Tn}是先增后减的数列，且Tn的极限是0，
故有Tn的最大值为T2=T3=3，…（14分）
又对于一切正整数n，均有Tn≤C恒成立，∴C≥3，即C的最小值为3．…（16分）