Question

（1）设u、v为实数，证明：u²+v²≥；（2）请先阅读下列材料，然后根据要求回答问题．
材料：已知△LMN内接于边长为1的正三角形ABC，求证：△LMN中至少有一边的长不小于．
证明：线段AN、AL、BL、BM、CM、CN的长分别设为a₁、a₂、b₁、b₂、c₁、c₂，设LN、LM、MN的长为x、y、z，
x²=a₁²+a₂²-2a₁a₂cos60°=a₁²+a₂²-a₁a₂
同理：y²=b₁²+b₂²-b₁b₂，z²=c₁²+c₂²-c₁c₂，
x²+y²+z²=a₁²+a₂²+b₁²+b₂²+c₁²+c₂²-a₁a₂-b₁b₂-c₁c₂
…
请利用（1）的结论，把证明过程补充完整；
（3）已知n边形A₁′A₂′A₃′…A_n′内接于边长为1的正n边形A₁A₂…A_n，（n≥4），思考会有相应的什么结论？请提出一个的命题，并给与正确解答．
注意：第（3）题中所提问题单独给分，解答也单独给分．本题按照所提问题的难度分层给分，解答也相应给分，如果同时提出两个问题，则就高不就低，解答也相同处理．

Answer

（1）因为u2+v2≥2uv，所以2（u2+v2）≥（u+v）2，从而有：u2+v2≥；
（2）补上：因为 u2+v2≥，所以x2+y2+z2≥++-a1a2-b1b2-c1c2平方化开后再结合条件利用反证法即得．
（3）命题1：已知四边形MNPQ内接于边长为1的正方形ABCD，求证：四边形MNPQ中至少有一边的长不小于．
命题2：如图2，已知六边形A1B1C1D1E1F1内接于边长为1的正六边形ABCDEF，求证：六边形A1B1C1D1E1F1中，至少有一边的长不小于．
命题3：如图3，已知n边形A1′A2′…An′内接于边长为1的正n边形A1A2…An，（n≥4）．求证：n边形A1′A2′A3′…An′中，至少有一边的长不小于cos（其中n≥3）．下面对三个命题进行证明即可．
证明：（1）因为u2+v2≥2uv，所以2（u2+v2）≥（u+v）2，
即有：u2+v2≥…（2分）
（2）因为 u2+v2≥
所以x2+y2+z2≥++-a1a2-b1b2-c1c2
=[a12+a22+b12+b22+c12+c22]…（3分）
≥[++]=，…（4分）
因为x2+y2+z2≥，所以x2、y2、z2中至少有一个不小于，即在x、y、z中至少有一个不小于．…（6分）
（3）【解析】
命题1：如图1，已知四边形MNPQ内接于边长为1的正方形ABCD，求证：四边形MNPQ中至少有一边的长不小于．
证明：线段AQ、AM、BM、BN、CN、CP、DP、DQ分别设为a1、a2、b1、b2、c1、c2、d1、d2，设MN、NP、PQ、QM为w、x、y、z，
因为a1+d2=1，a2+b1=1，b2+c1=1，c2+d1=1，
所以（a1+a2）+（b1+b2）+（c1+c2）+（d1+d2）=4
这四组数中至少有一组数不小于1，不妨假定a1+a2≥1，那么a2≥1-a1，
因为z2=a12+a22≥a12+（1-a1）2=2a12-2a1+1=2（a1-）2+≥
所以z≥，即四边形MNPQ中至少有一边的长不小于．
命题：（3分）；证明：（3分）

命题2：如图2，已知六边形A1B1C1D1E1F1内接于边长为1的正六边形ABCDEF，求证：六边形A1B1C1D1E1F1中，至少有一边的长不小于．
证明：分别设线段AF1、AA1、BA1、BB1、…、FE1、FF1为a1、a2、b1、b2、…、f1、f2，如图所示．
因为a1+f2=1，a2+b1=1，b2+c1=1，c2+d1=1，d2+e1=1，e2+f1=1，
所以（a1+a2）+（b1+b2）+…+（f1+f2）=6，
这六组数中至少有一组数不小于1，不妨假定a1+a2≥1，那么a2≥1-a1，
因为A1F12=AA12+AF12-2AA1．AF1cos120°=a12+a22+a1a2
≥a12+（1-a1）2+a1（1-a1）=a12-a1+1=（a1-）2+≥，
所以A1F1≥，即六边形A1B1C1D1E1F1中，至少有一边的长不小于．
命题：（5分）；证明：（5分）

命题3：如图3，已知n边形A1′A2′…An′内接于边长为1的正n边形A1A2…An，（n≥4）．求证：n边形A1′A2′A3′…An′中，至少有一边的长不小于cos（其中n≥3）．
证明：分别设线段A1 An′、A1A1′、A2A1′、A2A2′、…、AnA n-1′、AnAn′为a1、a1′、a2、a2′、…、an、an′，
因为a1+a′=a2+a1′=a3+a2′=…=an+a n-1′=1，
所以（a1+a1′）+（a2+a2′）+…+（an+an′）=n．
这n组数中至少有一组数不小于1，不妨假定a1+a1′≥1，那么a1′≥1-a1，
于是在△A1A1′An′中有：
A1 An′2=A1A12+A1An2-2 A1A1′．A1An′cos
=a12+a12-2a1a1′cos≥a12+（1-a1）2-2 a1 （1-a1） cos
=2[cos+1]a12-2[cos+1]a1+1
=2[cos+1]（ a1-）2+[1-cos]
≥[1-cos]=sin2=cos2．
故A1′An′≥cos，即n边形A1′A2′A3′…An′中，至少有一边的长不小于cos．
命题：（7分）；证明：（7分）