Question

已知椭圆C：
（1）已知椭圆的长轴是焦距的2倍，右焦点坐标为F（1，0），写出椭圆C的方程；
（2）设K是（1）中所的椭圆上的动点，点O是坐标原点，求线段KO的中点B的轨迹方程；
（3）设点P是（1）中椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为k_PM，K_PN试探究k_PM•K_PN的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论．

Answer

（1）2a=2（2c），c=1，a2=4b2=3，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设KO的中点为B（x，y），则点K（2x，2y），把K的坐标代入椭圆中，得．由此能求出线段KF1的中点B的轨迹方程．
（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称，设M（x，y）N（-x，-y），p（x，y）．M，N，P在椭圆上，应满足椭圆方程，由此能够证明kPM•KPN的值与点P的位置无关，同时与直线L无关．
【解析】
（1）2a=2（2c），（1分）
c=1，（2分）
a2=4b2=3，（3分）
椭圆C的方程为：．（4分）
（2）设KO的中点为B（x，y）则点K（2x，2y），（6分）
把K的坐标代入椭圆中，
得（8分）
线段KF1的中点B的轨迹方程为．（10分）
（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称
设M（x，y）N（-x，-y），p（x，y）（11分）
M，N，P在椭圆上，应满足椭圆方程，
得，（12分）
，（13分）
kPM•KPN==．（15分）
故：kPM•KPN的值与点P的位置无关，同时与直线L无关．（16分）