Question

如图，正四棱锥V-ABCD的高和底面的边长均相等，E是棱VB的中点．
（1）求证：AC⊥VD；
（2）（文科）求：异面直线CE和VD的夹角大小；
     （理科）求：二面角E-AC-B的大小．

Answer

（1）连接AB，CD交于O，通过证明AC⊥BD，AC⊥VO证得AC⊥面VDB，再证明AC⊥VD
（2）（文科）可知OE∥VD，所以∠CEO （或其补角）即为异面直线CE和VD的夹角．在△CEO 中求解即可．
（理科）由（1）得出AC⊥OE，AC⊥OB，所以∠EOB为二面角E-AC-B的平面角，在△EOH 求解即可
【解析】
（1）证明连接AB，CD交于O
则AC⊥BD，AC⊥VO，且BD∩VO=O，∴AC⊥面VDB，又VD⊂VDB∴AC⊥VD．
（2）（文科）
∵E是棱VB的中点，所以OE∥VD，∴∠CEO （或其补角）即为异面直线CE和VD的夹角．设高和底面的边长均为2，则在△VBC中，VC2=VO2+OC2=22+=6，VC=．
cos∠CVB===，CE2=VC2+VE2-2VC×VE×cos∠CVB=6+ =
在△CEO 中，cos∠CEO===∴∠CEO=arccos．即异面直线CE和VD的夹角大小为arccos．
（理科）
由（1）AC⊥面VDB，，∴AC⊥OE，AC⊥OB，∴∠EOB为二面角E-AC-B的平面角，取BO中点 H，则EH∥VO，EH⊥面ABCD  且 EH=1，
在直角△EOH，tan∠EOB=，，∴∠EOB=arctan，即二面角E-AC-B的大小为arctan．