Question

（1）定义：若数列{d_n}满足d_n+1=d_n²，则称{d_n}为“平方递推数列”．已知：数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2a_n²+2a_n．
①求证：数列{2a_n+1}是“平方递推数列”；
②求证：数列{lg（2a_n+1）}是等比数列；
③求数列{a_n}的通项公式．
（2）已知：数列{b_n}中，b₁=1，b_n+1=p²b_n³+3pb_n²+3b_n（p＞0），求：数列{b_n}的通项．

Answer

（1）①依据“平方递推数列”定义，结合条件an+1=2an2+2an，可证数列{2an+1}是“平方递推数列”，
②令bn=2an+1，进而有lgbn+1=2lgbn．从而可证数列{lgbn}为等比数列；
③由②知，数列{lg（2an+1）}是以lg5为首项，2为公比的等比数列，故可求
（2）两边同乘以p整理得，pbn+1+1=（pbn+1）3，两边取对数得：lg（pbn+1+1）=3lg（pbn+1），故数列{lg（pbn+1）}是以lg（p+1）为首项，3为公比的等比数列，从而可求数列{bn}的通项．
【解析】
（1）①由条件an+1=2an2+2an，得2an+1+1=4an2+4an+1=（2an+1）2．
∴数列{2an+1}是“平方递推数列”；
②令bn=2an+1，∴bn+1=2an+1+1．则lgbn+1=2lgbn．
∵lg（2a1+1）=lg5≠0，∴=2．
数列{lg（2an+1）}是等比数列；
③由②知，lg（2an+1）=，∴2an+1=，∴an=
（2）两边同乘以p得，pbn+1=p3bn3+3p2bn2+3pbn（p＞0），
∴pbn+1+1=p3bn3+3p2bn2+3pbn+1=（pbn+1）3，
两边取对数得：lg（pbn+1+1）=3lg（pbn+1）
∴数列{lg（pbn+1）}是以lg（p+1）为首项，3为公比的等比数列
∴lg（pbn+1）=3n-1lg（p+1）
∴bn=