Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c为实数，a≠0），定义域D：[-1，1]
（1）当a=1，b=-1时，若函数f（x）在定义域内恒小于零，求c的取值范围；
（2）当a=1，常数b＜0时，若函数f（x）在定义域内恒不为零，求c的取值范围；
（3）当b＞2a＞0时，在D上是否存在x，使得|f（x）|＞b成立？（要求写出推理过程）

Answer

（1）a=1，b=-1y=x2-x+c＜0在[-1，1]恒成立，则-c＞x2-x在[-1，1]上恒成立，令g（x）=x2-x，x∈[-1，1]，-c＞g（x）max可求
（2）a=1，b＜0，f（x）=x2+bx+c≠0在[-1，1]上恒成立⇔-c≠h（x）=x2+bx在[-1，1]上恒成立，结合函数h（x）的范围可求c得范围
（3）假设在D上存在x，使得|f（x）|＞b成立则只要|f（x）|max＞b即可
【解析】
（1）a=1，b=-1y=x2-x+c＜0在[-1，1]恒成立
则-c＞x2-x在[-1，1]上恒成立
令g（x）=x2-x，x∈[-1，1]，则可得g（x）max=2
则-c＞2即c＜-2
（2）a=1，b＜0，f（x）=x2+bx+c≠0在[-1，1]上恒成立⇔-c≠h（x）=x2+bx在[-1，1]上恒成立，
而函数h（x）=x2+bx的对称轴x=＞0
（当b＜-2，函数g（x）在[-1，1]单调递减，则可得g（1）≤g（x）≤g（-1），即1+b≤g（x）≤1-b
所以，-c＞1-b或-c＜1+b    所以c＜b-1或c＞-1-b
（II）当即2≤b＜0时，，即
所以
所以，
（3）假设在D上存在x，使得|f（x）|＞b成立则只要|f（x）|max＞b即可
由于b＞2a＞0，则对称轴x=-
根据二次函数的性质可得|f（x）|的最大值=max{||f（1）|，|f（-1）|}
|a+b+c|＞b或|a-b+c|＞b
从而可得，存在实数满足条件