Question

已知a为实数，函数f（θ）=sinθ+a+3．
（1）若f（θ）=cosθ（θ∈R），试求a的取值范围；
（2）若a＞1，，求函数f（θ）+g（θ）的最小值．

Answer

（1）根据题意可知sinθ-cosθ=-3-a，然后根据辅助角公式求出sinθ-cosθ的范围，从而求出a的范围；
（2）讨论a，当时利用基本不等式求出函数的最值，当时利用函数的单调性求出最值即可．
【解析】
（1）f（θ）=cosθ即sinθ-cosθ=-3-a，又，（2分）
所以，从而a的取值范围是．      …（5分）
（2），令sinθ+1=x，则0＜x≤2，因为a＞1，
所以，当且仅当时，等号成立，（8分）
由解得，所以当时，函数f（θ）+g（θ）的最小值是； …（11分）
下面求当时，函数f（θ）+g（θ）的最小值．
当时，，函数在（0，2]上为减函数．
所以函数f（θ）+g（θ）的最小值为．            …（12分）
当时，函数在（0，2]上为减函数的证明：任取0＜x1＜x2≤2，，因为0＜x2x1≤4，3（a-1）＞4，
所以，h（x2）-h（x1）＜0，由单调性的定义函数在（0，2]上为减函数．
于是，当时，函数f（θ）+g（θ）的最小值是；
当时，函数f（θ）+g（θ）的最小值．                               …（15分）