Question

（理）已知A、B是抛物线y²=4x上的相异两点．
（1）设过点A且斜率为-1的直线l₁，与过点B且斜率为1的直线l₂相交于点P（4，4），求直线AB的斜率；
（2）问题（1）的条件中出现了这样的几个要素：已知圆锥曲线Γ，过该圆锥曲线上的相异两点A、B所作的两条直线l₁、l₂相交于圆锥曲线Γ上一点；结论是关于直线AB的斜率的值．请你对问题（1）作适当推广，并给予解答；
（3）若线段AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点Q（x，0）．若x=5，试用线段AB中点的纵坐标表示线段AB的长度，并求出中点的纵坐标的取值范围．

Answer

（1）由直线与抛物线联立方程组解得A（16，-8），B（0，0），由点斜式写出两条直线l1、l2的方程，从而得出直线AB的斜率；
（2）推广的评分要求分三层：
一层：点P到一般或斜率到一般，或抛物线到一般，例子：1、已知A、B是抛物线y2=4x上的相异两点．设过点A且斜率为-1的直线l1，与过点B且斜率为1的直线l2相交于抛物线y2=4x上的一定点P，求直线AB的斜率等等；
二层：两个一般或推广到其它曲线；
三层：满分（对抛物线，椭圆，双曲线或对所有圆锥曲线成立的想法）
（3）点Q（x，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），则yi2=4xi（i=1，2）．设线段AB的中点是M（xm，ym），斜率为k，写出线段AB的垂直平分线l的方程，又点Q（5，0）在直线l上，求出xm=3．最后利用0＜ym2＜4xm=12，即可求出中点的纵坐标的取值范围．
【解析】
（理）（1）由解得A（16，-8）；由解得B（0，0）．
由点斜式写出两条直线l1、l2的方程，l1：x+y-8=0；l2：x-y=0，所以直线AB的斜率为． …（4分）
（2）推广的评分要求分三层
一层：点P到一般或斜率到一般，或抛物线到一般（（3分），问题（1分）、解答2分）
例：1、已知A、B是抛物线y2=4x上的相异两点．设过点A且斜率为-1的直线l1，与过点B且斜率为1的直线l2相交于抛物线
y2=4x上的一定点P，求直线AB的斜率；
2、已知A、B是抛物线y2=4x上的相异两点．设过点A且斜率为-k 1的直线l1，与过点B且斜率为k的直线l2相交于抛物线
y2=4x上的一点P（4，4），求直线AB的斜率；
3、已知A、B是抛物线y2=2px（p＞0）上的相异两点．设过点A且斜率为-1的直线l1，与过点B且斜率为1的直线l2相交于抛物线y2=2px（p＞0）上的一定点P，求直线AB的斜率； AB的斜率的值．
二层：两个一般或推广到其它曲线（（4分），问题与解答各占2分）
例：4．已知点Ρ是抛物线y2=4x上的定点．过点P作斜率分别为k、-k的两条直线l1、l2，分别交抛物线于A、B两点，试计算直线AB的斜率．
三层：满分（对抛物线，椭圆，双曲线或对所有圆锥曲线成立的想法．）（（7分），问题（3分）、解答4分）
例如：5．已知抛物线y2=2px上有一定点P，过点P作斜率分别为k、-k的两条直线l1、l2，分别交抛物线于A、B两点，试计算直线AB的斜率．
过点P（x，y），斜率互为相反数的直线可设为y=k（x-x）+y，y=k（x-x）+y，其中y2=2px．
由得ky2-2py+2py-ky2=0，所以
同理，把上式中k换成-k得，所以
当P为原点时直线AB的斜率不存在，当P不为原点时直线AB的斜率为．
（3）点Q（x，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），则yi2=4xi（i=1，2）．
设线段AB的中点是M（xm，ym），斜率为k，则=．（12分）
所以线段AB的垂直平分线l的方程为，
又点Q（5，0）在直线l上，所以，
而ym≠0，于是xm=3．                  …（13分）
（斜率，，则xm=3  （13分）
线段AB所在直线的方程为，…（14分）
代入y2=4x，整理得4x2-24x+ym4-12ym2+36=0…（15分）x1+x2=6，．
设AB线段长为l，则
=（4+ym2）（-ym2+12）=-ym4+8ym2+48…（16分）
因为0＜ym2＜4xm=12，所以…（18分）
即：．（）．