Question

过定点A（-1，1）是否存在直线l，使得点A恰为直线l与椭圆x²+3y²=9相交所得的线段的中点，若存在，请求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

先设出过A点的直线交椭圆于B、C两点的坐标，代入椭圆方程作差得：（x1+x2）（ x1-x2）+3（y1+y2）（ y1-y2）=0；再结合A点是线段BC的中点即可求出直线的斜率；进而得到直线方程．
【解析】
设过A点的直线交椭圆于B、C两点，B（x1，y1）、C（x2，y2）
则有x12+3y12=9，x22+3y22=9，（3分）
两式相减得：（x1+x2）（ x1-x2）+3（y1+y2）（ y1-y2）=0（6分）
因为A点是线段BC的中点，所以x1+x2=-2，y1+y2=2 （8分）
代入得：kBC==（10分）
所以l的方程为y=（x+1）+1（11分）
检验知：x-3 y+4=0为所求的方程．（12分）