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已知Sn是正数数列{an}的前n项和,S12,S22、…、Sn2…,是以3为首项...

已知Sn是正数数列{an}的前n项和,S12,S22、…、Sn2…,是以3为首项,以1为公差的等差数列;数列{bn}为无穷等比数列,其前四项之和为120,第二项与第四项之和为90.(1)求an、bn;(2)从数列{manfen5.com 满分网}中能否挑出唯一的无穷等比数列,使它的各项和等于manfen5.com 满分网.若能的话,请写出这个数列的第一项和公比?若不能的话,请说明理由.
(1)根据{Sn2}是以3为首项,以1为公差的等差数列求出通项公式,得到Sn,然后根据an=进行求解,根据{bn}是等比数列,求出首项和公比即可求出bn; (2)设可以挑出一个无穷等比数列{cn},首项为c1=()p,公比为()k,(p、k∈N),它的各项和等于=,建立等式关系,讨论p和k的大小,从而求出满足条件的等比数列. 【解析】 (1){Sn2}是以3为首项,以1为公差的等差数列;所以Sn2=3+(n-1)=n+2 因为an>0,所以Sn=(n∈N)(2分) 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=- 又a1=S1=,所以an=(n∈N) (4分) 设{bn}的首项为b1,公比为q,则有(6分) 所以,所以bn=3n(n∈N)(8分) (2)=()n,设可以挑出一个无穷等比数列{cn},首项为c1=()p,公比为()k,(p、k∈N),它的各项和等于=,(10分) 则有,所以()p=[1-()k],(12分) 当p≥k时3p-3p-k=8,即3p-k(3k-1)=8,因为p、k∈N,所以只有p-k=0,k=2时, 即p=k=2时,数列{cn}的各项和为. (14分) 当p<k时,3k-1=8.3k-p,因为k>p右边含有3的因数,而左边非3的倍数,不存在p、k∈N, 所以唯一存在等比数列{cn},首项为,公比为,使它的各项和等于.(16分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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