Question

已知数列{a_n}是首项a₁=a，公差为2的等差数列；数列{b_n}满足2b_n=（n+1）a_n．
（1）若a₁、a₃、a₄成等比数列，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若对任意n∈N^*都有b_n≥b₅成立，求实数a的取值范围；
（3）数列{c_n}满足 ，其中c₁=1，；f（n）=b_n-|c_n|，当-16≤a≤-14时，求f（n）的最小值（n∈N^*）．

Answer

（1）因为a1、a3、a4成等比数列，所以a1•a4=a32，由此能求出an．
（2）由2bn=（n+1）an，=，由题意得：，由此能求出a的范围．
（3）因为．当n为偶数时：；；由此能求出．
【解析】
（1）因为a1、a3、a4成等比数列，
所以a1•a4=a32，
即a•（a+6）=（a+4）2，a=-8，
∴an=-8+（n-1）×2=2n-10…（4分）
（2）由2bn=（n+1）an，
=，…（6分）
由题意得：，
-22≤a≤-18…（10分）
（3）因为
①当n为偶数时：，
，
，
所以 Cn=C2+（C4-C2）+L+（Cn-2-Cn-4）+（Cn-Cn-2）
==
即；（12分）
②n为奇数时：，，
，
所以 Cn=C1+（C3-C1）+L+（Cn-2-Cn-4）+（Cn-Cn-2）
==
即；…（14分）
综合①②得   
所以 ，
所以，…（15分）
则，

=2n+1-．…（16分）
因为数列对任意n∈N*是单调递增数列，
且-16≤a≤-14
所以当n≥4时，f（n+1）-f（n）
=2n+1-
即f（4）＜f（5）＜f（6）＜L＜f（n）＜L
所以当1≤n≤3时f（n+1）-f（n）
=2n+1--，
即f（1）＞f（2）＞f（3）＞f（4）
当n=4时，f（4）=16+2a+
所以 …（18分）