Question

政府决定用“对社会的有效贡献率”对企业进行评价．a_n表示某企业第n年投入的治理污染的环保费用，用b_n表示该企业第n年的产值．a₁=a（万元），且以后治理污染的环保费用每年都比上一年增加2a（万元）；又设b₁=b（万元），且企业的产值每年比上一年的平均增长率为10%.表示企业第n年“对社会的有效贡献率”．
（1）求该企业第一年和第二年的“对社会的有效贡献率”；
（2）试问：从第几年起该企业“对社会的有效贡献率”不低于20%？

Answer

（1）因为 a1=a，b1=b，根据题意：a2=a1+2a=3a，b2=b1（1+10%）=1.1b．由此能求出该企业第一年和第二年的“对社会的有效贡献率”．
（2）因为 an=a1+2a（n-1）=（2n-1）a（n∈N*），bn=b1×（1+10%）n-1=1.1n-1b（n∈N*），，然后再证明：Pn=f（n）=（2n-1）1.1n-1%为增函数．
【解析】
（1）因为 a1=a，b1=b，
根据题意：a2=a1+2a=3a，b2=b1（1+10%）=1.1b（2分）
所以 （4分）
（6分）
该企业第一年和第二年的“对社会的有效贡献率”分别为1%和3.3%（7分）
（2）因为 an=a1+2a（n-1）=（2n-1）a（n∈N*）（9分）
bn=b1×（1+10%）n-1=1.1n-1b（n∈N*）（11分）
所以 （12分）
下证：Pn=f（n）=（2n-1）1.1n-1%为增函数                    （15分）
证法1：，
又 Pn＞0，
则 Pn=f（n）=（2n-1）1.1n-1%为增函数，
证法2：Pn+1-Pn=…=（0.2n+2.1）×1.1n-1%＞0
∴Pn+1＞Pn
则 Pn=f（n）=（2n-1）1.1n-1%为增函数
再验证：P7=13×1.16%≈23.01%＞20%，
P6=11×1.15%≈17.71%＜20%（17分）
故，从第七年起该企业“对社会的有效贡献率”不低于20%（18分）