Question

已知函数f（x）=x²+2x+1，如果使f（x）≤kx对任意实数x∈（1，m]都成立的m的最大值是5，则实数k=    ．

Answer

若f（x）≤kx对任意实数x∈（1，m]都成立，即x2+（2-k）x+1≤0对任意实数x∈（1，m]都成立，即（1，m]是不等式x2+（2-k）x+1≤0解集的一个子集，设不等式x2+（2-k）x+1≤0解集为a≤x≤b，则a≤1，b≥m，进而根据使f（x）≤kx对任意实数x∈（1，m]都成立的m的最大值是5，构造关于k的方程，解方程即可得到答案．
【解析】
设g（x）=x2+（2-k）x+1
设不等式g（x）≤0的解集为a≤x≤b．
则△=（2-k）2-4＞=0，解得k≥4或k≤0
又∵函数f（x）=x2+2x+1，且f（x）＜=kx对任意实数x属于（1，m]恒成立；
∴（1，m]⊆[a，b]
∴a≤1，b≥m
∴f（1）=4-k＜0，解得k＞4
m的最大值为b，所以有b=5．
即x=5是方程g（x）=0的一个根，代入x=5我们可以解得k=
故答案为：