Question

我们用部分自然数构造如下的数表：用a_ij（i≥j）表示第i行第j个数（i、j为正整数），使a_i1=a_ii=i；每行中的其余各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和（第一、二行除外，如图），设第n（n为正整数）行中各数之和为b_n．
（Ⅰ）试写出b₂-2b₁，b₃-2b₂，b₄-2b₃，b₅-2b₄，并推测b_n+1和b_n的关系（无需证明）；
（Ⅱ）证明数列{b_n+2}是等比数列，并求数列{b_n}的通项公式b_n；
（Ⅲ）数列{b_n}中是否存在不同的三项b_p，b_q，b_r（p、q、r为正整数）恰好成等差数列？若存在，求出p、q、r的关系；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）b1=1；b2=4；b3=10；b4=22；b5=46；可见：b2-2b1=2；b3-2b2=2；b4-2b3=2；b5-2b4=2，由此能够猜测：bn+1-2bn=2．
（Ⅱ）由，知bn=3×2n-1-2．
（Ⅲ）若数列{bn}中存在不同的三项bp，bq，br（p、q、r∈N*）恰好成等差数列，设p＞q＞r，bn是递增数列，则2bq=bp+br，于是2×2q-r=2p-r+1，由p、q、r∈N*且p＞q＞r知，q-r≥1，p-r≥2，由此知数列{bn}中不存在不同的三项bp，bq，br（p、q、r∈N*）恰好成等差数列．
【解析】
（Ⅰ）b1=1；b2，=4；b3=10；b4=22；b5=46；
可见：b2-2b1=2；b3-2b2=2；b4-2b3=2；b5-2b4=2，（2分）
猜测：bn+1-2bn=2（或bn+1=2bn+2或bn+1-bn=3×2n-1）（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），（7分）
所以bn+2是以b1+2=3为首项，2为公比的等比数列，
∴bn+2=3×2n-1，即bn=3×2n-1-2（注：若考虑，且不讨论n=1，扣1分）（10分）
（Ⅲ）若数列{bn}中存在不同的三项bp，bq，br（p、q、r∈N*）恰好成等差数列，
不妨设p＞q＞r，显然，bn是递增数列，则2bq=bp+br（11分）
即2×（3×2q-1-2）=（3×2p-1-2）+（3×2r-1-2），于是2×2q-r=2p-r+1（14分）
由p、q、r∈N*且p＞q＞r知，q-r≥1，p-r≥2，
∴等式的左边为偶数，右边为奇数，不成立，
故数列{bn}中不存在不同的三项bp，bq，br（p、q、r∈N*）恰好成等差数列．（16分）