Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点．
（1）求证：AD⊥PB；
（2）求证：DM∥平面PCB；
（3）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小．

Answer

（1）取AD的中点G，连接PG、GB、BD，根据等腰可知PG⊥AD，BG⊥AD，又PG∩BG=G，满足线面垂直的判定定理，则AD⊥平面PGB，根据线面垂直的性质可知AD⊥PB；
（2）欲证DM∥平面PCB，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证DM与平面PCB内一直线平行，取PB的中点F，连接MF，CF．可证得四边形CDMF是平行四边形，则DM∥CF，CF⊂平面PCB，DM⊄平面PCB，满足定理所需条件；
（3）延长AD与BC交点为K，连接PK，过G作GH⊥PK于一定H，连接BH，则BH⊥PK，从而∠BHG为平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角，在三角形BHG求出此角即可．
证明：（1）取AD的中点G，连接PG、GB、BD．
∵PA=PD，
∴PG⊥AD（2分）
∵AB=AD，且∠DAB=60°，
∴△ABD是正三角形，BG⊥AD，又PG∩BG=G，
∴AD⊥平面PGB．
∴AD⊥PB．（4分）

（2）取PB的中点F，连接MF，CF．
∵M、F分别为PA、PB的中点，
∴MF∥AB，且．
∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD且AB=2CD，
∴MF∥CD且MF=CD．（6分）
∴四边形CDMF是平行四边形．
∴DM∥CF．
∵CF⊂平面PCB，DM⊄平面PCB
∴DM∥平面PCB．（8分）
（3）延长AD与BC交点为K，连接PK．
过G作GH⊥PK于一定H，
连接BH，则BH⊥PK．∴∠BHG为平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角．0分
设CD=a，则AD=2a，KD=2a，
∴．
又因为PK•GH=PG•GK，GK=3a，
∴
∴
∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为．（12分）