Question

在中学阶段，对许多特定集合（如实数集、复数集以及平面向量集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容．现设集合A由全体二元有序实数组组成，在A上定义一个运算，记为⊙，对于A中的任意两个元素α=（a，b），β=（c，d），规定：α⊙β=．
（1）计算：（2，3）⊙（-1，4）；
（2）请用数学符号语言表述运算⊙满足交换律和结合律，并任选其一证明；
（3）A中是否存在唯一确定的元素I满足：对于任意α∈A，都有α⊙I=I⊙α=α成立，若存在，请求出元素I；若不存在，请说明理由；
（4）试延续对集合A的研究，请在A上拓展性地提出一个真命题，并说明命题为真的理由．

Answer

（1）利用题中的定义，利用行列式公式求出值
（2）利用定义写出交换律，结合律，并用题中的定义证明．
（3）先假设存在，利用定义写出方程，解得求出即存在，若求不出，则不存在．
（4）类比实数中的一些运算律写出，并用题中的定义证明．
【解析】
（1）（2，3）⊙（-1，4）=（5，14）
（2）设A中的任意三个元素α=（a，b），β=（c，d），γ=（e，f）
交换律：α⊙β=（ad+bc，bd-ac）=β⊙α结合律：（α⊙β）⊙γ=（adf+bcf+bde-ace，bdf-acf-ade-bce）=α⊙（β⊙γ）
（3）假设存在I=（x，y），α=（a，b），则I⊙α=α，
即（x，y）⊙（a，b）=（a，b）=（a，b），
①若α=（0，0），显然有I⊙α=α成立；
②若α≠（0，0），则
所以
解得x=0，y=1．
所以，存在I=（0，1）满足：对于任意α∈A，都有α⊙I=I⊙α=α成立．
（4）①举例计算，如计算（1，-1）⊙（0，-1）等不给分．
②计算α⊙α=（2ab，b2-a2）、α⊙（-α）=（-2ab，a2-b2）、（a，b）⊙（1，0）=（b，-a）、（a，b）⊙（0，0）=（0，0）等．
③定义“加法”⊕：（a，b）⊗（c，d）=（a+c，b+d），
并解释合理性（验证α⊕α=（0，2）⊙α）．
④证明消去律成立：（a，b）⊙（c，d）=（a，b）⊙（e，f）⇒（c，d）=（e，f）．
⑤方程α⊙x=e当α≠（0，0）时有解，并求出解．
⑥方程α⊙x=β当α≠（0，0）时有解，并求出解．
⑦定义“逆运算※”，对于A中的任意两个元素α=（a，b）≠（0，0），β=（c，d），
规定：β※α=解释合理性（如6）