Question

已知f（x）在x∈[a，b]上的最大值为M，最小值为m，给出下列五个命题：
①若对任何x∈[a，b]都有p≤f（x），则p的取值范围是（-∞，m]；
②若对任何x∈[a，b]都有p≤f（x），则p的取值范围是（-∞，M]；
③若关于x的方程p=f（x）在区间[a，b]上有解，则p的取值范围是[m，M]；
④若关于x的不等式p≤f（x）在区间[a，b]上有解，则p的取值范围是（-∞，m]；
⑤若关于x的不等式p≤f（x）在区间[a，b]上有解，则p的取值范围是（-∞，M]；
其中正确命题的个数为（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

Answer

这是一个对不等式恒成立，方程或不等式解集非空的理解，概念题．对各个选项分别加以判断，发现在①②中，得出①正确②错误，④⑤中得出⑤正确④错误，而不难发现③是一个真命题，由此可得正确答案．
【解析】
对任何x∈[a，b]都有p≤f（x），说明p≤f（x）的最小值，
结合题意知p≤m，①是正确的；
由于①正确，所以②是一个错误的理解，就不正确了；
关于x的方程p=f（x）在区间[a，b]上有解，
说明p应属于函数f（x）在[a，b]上的值域[m，M]内，故③是正确的；
关于x的不等式p≤f（x）在区间[a，b]上有解，说明p小于或等于的最大值，
所以④是错误的，而⑤是正确的
正确的选项应该为①③⑤
故选B