Question

设n为正整数，规定：，已知．
（1）解不等式：f（x）≤x；
（2）设集合A={0，1，2}，对任意x∈A，证明：f₃（x）=x；
（3）探求；
（4）若集合B={x|f₁₂（x）=x，x∈[0，2]}，证明：B中至少包含有8个元素．

Answer

（1）因为是分段函数，所以先根据定义域选择解析式来构造不等式，当0≤x≤1时，由2（1-x）≤x求解；当1＜x≤2时，由x-1≤x求解，取后两个结果取并集．
（2）先求得f（0），f（1），f（2），再分别求得f（f（0）），f（f（f（0）））；f（f（1）），f（f（f（1）））；f（f（f（2）））．再观察与自变量是否相等即可．
（3）看问题有2008重求值，一定用到周期性，所以先求出 ，，，，观察是以4为周期，有 （k，r∈N）求解
（4）由（1）可得∈B、由（2）可得0、1、2∈B、由（3）可得、、、∈B，进而可证得结论．
【解析】
（1）①当0≤x≤1时，由2（1-x）≤x得，x≥．
∴≤x≤1．
②当1＜x≤2时，因x-1≤x恒成立．
∴1＜x≤2．
由①，②得，f（x）≤x的解集为{x|≤x≤2}．
（2）∵f（0）=2，f（1）=0，f（2）=1，
∴当x=0时，f3（0）=f（f（f（0）））=f（-f（2））=f（1）=0；
当x=1时，f3（1）=f（f（f（1）））=f（f（0））=f（2）=1；
当x=2时，f3（2）=f（f（f（2）））=f（f（1））=f（0）=2．
即对任意x∈A，恒有f3（x）=x．
（3），
，
，
，
一般地，（k，r∈N）．
∴
（4）由（1）知，f（）=，∴fn（）=，则f12（）=，∴∈B．
由（2）知，对x=0、1、2，恒有f3（x）=x，∴f12（x）=x，则0、1、2∈B．
由（3）知，对x=、、、，恒有f12（x）=x，∴、、、∈B．
综上所述、0、1、2、、、、∈B．
∴B中至少含有8个元素．