Question

已知函数f（x）=3^x+k（k为常数），A（-2k，2）是函数y=f^-1（x）图象上的点．
（1）求实数k的值及函数f^-1（x）的解析式；
（2）将y=f^-1（x）的图象按向量a=（3，0）平移，得到函数y=g（x）的图象，若2 f^-1（x+-3）-g（x）≥1恒成立，试求实数m的取值范围．

Answer

（1）先根据A（-2k，2）是函数y=f-1（x）图象上的点，求得实数k的值，再求原函数的反函数即可．解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y换位，2、【解析】
解出y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数．
（2）要使2f-1（x+-3）-g（x）≥1恒成立，分离出参数m后得：x++2≥3在x＞0时恒成立，利用只要（x++2）min≥3．即可，从而求实数m的取值范围．
【解析】
（1）∵A（-2k，2）是函数y=f-1（x）图象上的点，
∴B（2，-2k）是函数y=f（x）上的点．
∴-2k=32+k．∴k=-3．
∴f（x）=3x-3．
∴y=f-1（x）=log3（x+3）（x＞-3）．

（2）将y=f-1（x）的图象按向量a=（3，0）平移，
得到函数y=g（x）=log3x（x＞0），
要使2f-1（x+-3）-g（x）≥1恒成立，
即使2log3（x+）-log3x≥1恒成立，
所以有x++2≥3在x＞0时恒成立，只要（x++2）min≥3．
又x+≥2（当且仅当x=，即x=时等号成立），
∴（x++2）min=4，即4≥3．∴m≥．