Question

已知点F₁，F₂是双曲线M：的左右焦点，其渐近线为，且右顶点到左焦点的距离为3．
（1）求双曲线M的方程；
（2）过F₂的直线l与M相交于A、B两点，直线l的法向量为，且，求k的值；
（3）在（2）的条件下，若双曲线M在第四象限的部分存在一点C满足，求m的值及△ABC的面积S_△ABC．

Answer

（1）由渐近线为，且右顶点到左焦点的距离为3，得到a=1，b=，c=2，由此能求出双曲线方程．
（2）直线l的方程为y=k（x-2），由得（3-k2）x2+4k2x-（4k2+3）=0，再由韦达定理和平面向量知识能够得到k．
（3）把 代入（3-k2）x2+4k2x-（4k2+3）=0，得4x2+4x-9=0，此时，所以．由此入手能求出m的值及△ABC的面积S△ABC．
【解析】
（1）∵渐近线为，且右顶点到左焦点的距离为3．
∴a=1，b=，c=2，
∴双曲线方程为：．…（4分）
（2）直线l的方程为y=k（x-2），由得（3-k2）x2+4k2x-（4k2+3）=0（*）
所以…（6分）
由得x1•x2+y1•y2=0
即（1+k2）x1•x2-2k2（x1+x2）+4k2=0
代入化简，并解得（舍去负值），
∴．…（9分）
（3）把 代入（*）并化简得4x2+4x-9=0，
此时，
所以…（11分）
设C（x，y），由得代入双曲线M的方程解得（舍），m=2，所以，…（14分）
点C到直线AB的距离为，
所以．…（16分）