Question

已知有穷数列{a_n}共有2k项（整数k≥2），首项a₁=2，设该数列的前n项和为S_n，且S_n=（n=1，2，3，…，2k-1），其中常数a＞1．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若a=，数列{b_n}满足b_n=，（n=1，2，3，…，2k），求证：1≤b_n≤2；
（3）若（2）中数列{b_n}满足不等式：|b₁-|+，求k的最大值．

Answer

（1）要根据Sn与an的固有关系an=，得出an+2=a•a n+1，再考虑的值，判定{an}的性质去求解．
（2）首先利用（1）的结论和条件获得an的表达式，然后对a1a2…an进行化简，结合对数运算即可获得数列{bn}的通项公式；
（3）首先利用分类讨论对 的大小进行判断，然后对所给不等式去绝对值，即可找到关于k的不等式，进而问题即可获得解答．
【解析】
（1）Sn=①，S n+1=②
②-①得，S n+1-Sn=a n+1=
化简整理得，an+2=a•an+1，=a（  n≥1）
又由已知a1=S1=，整理得出a2=a•a1
∴数列{an}是以a为公比，以2为首项的等比数列，
通项公式为an=2×a n-1．

（2）由（1）得an=2an-1，
∴a1a2an=2na1+2+…+（n-1）=2n=，
bn=（n=1，2，，2k）．
∵2k-1≤n-1∴
   即1≤bn≤2；

（3）设bn≤，解得n≤k+，又n是正整数，于是当n≤k时，bn＜；
当n≥k+1时，bn＞．
原式=（ -b1）+（ -b2）+…+（ -bk）+（bk+1-）+…+（b2k-）
=（bk+1+…+b2k）-（b1+…+bk）
==．
当 ≤4，得k2-8k+4≤0，4-2 ≤k≤4+2 ，又k≥2，
∴当k=2，3，4，5，6，7时，原不等式成立．
k的最大值为7．