Question

等差数列{a_n}中，公差d是自然数，等比数列{b_n}中，b₁=a₁=1，b₂=a₂．现又数据：①2，②3，③4，④5，当{b_n}中所有的项都是数列{a_n}中的项时，d可以取    ．（填上你认为正确的序号）

Answer

由b1=a1=1，b2=a2，利用等差、等比数列的性质可得d=a1（q-1），然后令bn=ak，根据等差数列及等比数列的通项公式化简，由a1不为0，在等式两边同时除以a1，用q表示出k，再根据等比数列的求和公式列举出各项，由已知d的值，求出相应的q值，进而得到相应的k值，发现k为正整数，即此时数列{bn}中的每一项都是数列{an}中的项，得到正确的选项．
【解析】
∵b1=a1=1，且b2=a2=b1q=a1q，
∴d=a2-a1=a1（q-1），
令b1qn-1=a1+（k-1）d，即a1qn-1-a1=（k-1）a1（q-1），
解得：k=1+=2+q+q2+…+qn-2，
∵d取2，3，4，5，∴q相应取1，2，3，4，
∴k相应为正整数，从而bn=ak，
故此时数列{bn}中的每一项都是数列{an}中的项．
则d可以取①②③④．
故答案为：①②③④