Question

对于函数f（x）=cosx+sinx，给出下列四个命题：①存在，使；②存在，使f（x+α）=f（x+3α）恒成立；③存在ϕ∈R，使函数f（x+ϕ）的图象关于y轴对称；④函数f（x）的图象关于对称．其中正确命题的序号是    ．

Answer

利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式，化简函数y=sinx+cosx为sin（x+），
确定函数的值域，判断①的真假；
找出特殊值判断②；
函数的对称轴判断③的真假；
将 代入函数解析式成立，说明④正确．
【解析】
函数y=sinx+cosx=sin（x+），
①时 y∈（1，]，因为 （1，]，所以本选项为真命题；
②f（x+α）=f（x+3α）说明2α是函数的周期，函数f（x）的周期为2π，显然本选项为假命题；
③存在θ∈R使函数f（x+θ）的图象关于y轴对称，
函数f（x）是周期函数，并且有对称轴，适当平移即可满足题意，本选项为真命题；
④函数f（x）的图象关于点 对称，当x=时f（ ）=0，满足题意，本选项为真命题，
则其中正确命题的序号是①③④．
故答案为：①③④