Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁=AC=BC，∠ACB=90°，P是AA₁的中点，Q是AB的中点．
（1）求异面直线PQ与B₁C所成角的大小；
（2）若直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为，求四棱锥C-BAPB₁的体积．

Answer

（1）以C为坐标原点，以CA，CB，CC1为X，Y，Z轴正方向建立空间直角坐标系，分别求出异面直线PQ与B1C的方向向量，代入向量夹角公式，即可求出异面直线PQ与B1C所成角的大小；
（2）连接CQ．由AC=BC，由已知中，Q是AB的中点，AA1⊥面ABC，我们根据等腰三角形“三线合一”的性质及线面垂直的性质，即可得到CQ⊥AB，CQ⊥AA1，进而根据线面垂直的判定定理，得到CQ⊥面ABB1A1，故CQ即为四棱锥C-BAPB1的高，求出棱锥的底面面积，代入棱锥体积公式，即可得到答案．
【解析】
（1）以C为坐标原点，以CA，CB，CC1为X，Y，Z轴正方向建立空间直角坐标系．不妨设CC1=AC=BC=2．
依题意，可得点的坐标P（2，0，1），Q（1，1，0），B1（0，2，2）．
于是，，=（0，-2，-2）．
由，
则异面直线PQ与B1C所成角的大小为．
（2）连接CQ．由AC=BC，Q是AB的中点，得CQ⊥AB；
由AA1⊥面ABC，CQ⊊面ABC，得CQ⊥AA1．
又AA1∩AB=A，因此CQ⊥面ABB1A1
由直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为⇒CC1=AC=BC=1．可得．
所以，四棱锥C-BAPB1的体积为．