Question

已知θ∈[0，2π），|cosθ|＜|sinθ|，且sinθ＜tanθ，则θ的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

由已知的sinθ＜tanθ，移项并利用同角三角函数间的基本关系变形后得到tanθ（1-cosθ）大于0，由余弦函数的值域得到1-cosθ大于0，从而得到tanθ大于0，可得出θ为第一或第三象限，若θ为第一象限角，得到sinθ和cosθ都大于0，化简|cosθ|＜|sinθ|，并利用同角三角函数间的基本关系得到tanθ大于1，利用正切函数的图象与性质可得出此时θ的范围；若θ为第三象限角，得到sinθ和cosθ都小于0，化简|cosθ|＜|sinθ|，并利用同角三角函数间的基本关系得到tanθ大于1，利用正切函数的图象与性质可得出此时θ的范围，综上，得到满足题意的θ的范围．
【解析】
∵sinθ＜tanθ，即tanθ-sinθ＞0，
∴tanθ（1-cosθ）＞0，
由1-cosθ＞0，得到tanθ＞0，
当θ属于第一象限时，sinθ＞0，cosθ＞0，
∴|cosθ|＜|sinθ|化为cosθ＜sinθ，即tanθ＞1，
则θ∈（，）；
当θ属于第三象限时，sinθ＜0，cosθ＜0，
∴|cosθ|＜|sinθ|化为-cosθ＜-sinθ，即tanθ＞1，
则θ∈（，），
综上，θ的取值范围是．
故选C