Question

已知函数f（x）在（-1，1）上有意义，f（）=-1，且对任意的x，y∈（-1，1），都有f（x）+f（y）=f（）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若数列）．
（3）求证：）．

Answer

（1）令x=y=0可得f（0）=0又令y=-x，x∈（-1，1），则f（x）+f（-x）=f（0）=0即f（-x）=-f（x），故f（x）是奇函数；
（2）1+xn2≥2|xn|得到：|，即有||＜1，进一步得出=2，{f（xn）}是以-1为首项，以2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式
求得f（xn）；
（3）用等比数列的求和公式可求，由是递减数列，可得到证明．
【解析】
（1）令x=y=0，则2f（0）=f（0），即f（0）=0（1分）
又令y=-x，x∈（-1，1），则f（x）+f（-x）=f（0）=0（3分）
即f（-x）=-f（x），故f（x）是奇函数．（4分）
（2）1+xn2≥2|xn|∴|，∴||＜1
f（x1）=f（）=-1
而f（xn+1）=f（）．（7分）
∴=2（8分）
∴{f（xn）}是以-1为首项，以2为公比的等比数列，
故f（xn）=-2n-1（9分）
（3）（11分）
∵-）
又-）
故）（14分）