Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2a，BC=BB₁=a，B₁C与BC₁交于O点．
（1）求异面直线AB₁与BC₁所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）求证：B₁O⊥平面ABC₁D₁；（3）求二面角B₁-AD₁-O的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer

首先分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，再根据题意写出各点的坐标．
（1）求出=（0，2a，a），=（-a，0，a），再结合向量之间的运算求出两个向量夹角的余弦值，再转化为两条直线的夹角，
（2）由题意可得B1C⊥BC1，AB⊥B1C，再根据线面垂直的判断定理证明线面垂直即可．
（3）分别设出两个平面的法向量，根据法向量与平面上的向量数量积等于0，求出两个平面的法向量，再根据两个向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角的余弦值，求出答案即可．
【解析】
分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：

因为AB=2a，BC=BB1=a，B1C与BC1交于O点，
所以各点的坐标为：A（a，0，0），B1（a，2a，a），B（a，2a，0），C1（0，2a，a），D1（0，0，a），O（，2a，），
（1）由以上可得：=（0，2a，a），=（-a，0，a），
所以cos==，
所以异面直线AB1与BC1所成角的大小为．
（2）因为BC=BB1，
所以B1C⊥BC1，
又因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
所以AB⊥B1C，
因为AB∩BC1=B，BC1⊂平面ABC1D1，AB⊂平面ABC1D1，
所以B1C⊥平面ABC1D1，即B1O⊥平面ABC1D1，
所以B1O⊥平面ABC1D1．
（3）设平面B1AD1与平面AD1O的法向量分别为：，，
由题意可得：=（0，2a，a），，
所以，即，
所以取平面B1AD1的法向量；
由题意可得：，，
所以，即，
所以取平面AD1O的法向量，
所以cos==-，
因为二面角B1-AD1-O的大小与互补，
所以二面角B1-AD1-O的余弦值为：，
所以二面角B1-AD1-O的大小为arccos．