Question

已知数列{a_n}满足a₁=a（a为常数，a∈R），a_n+1=2ⁿ-3a_n（n∈N^*），设b_n=（n∈N^*）．
（1）求数列{b_n}所满足的递推公式；
（2）求常数c、q使得b_n+1-c=q（b_n-c）对一切n∈N^*恒成立；
（3）求数列{a_n}通项公式，并讨论：是否存在常数a，使得数列{a_n}为递增数列？若存在，求出所有这样的常数a；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由题意知，又，∴．由此可知数列bn的递推公式．
（2）由题意知bn+1=qbn+c-qc，又由（1）可知，，由此可知
（3）由（2）知，数列是首项为公比为的等比数列，由此可知为所求的通项公式．由此可求出所有这样的常数a．
【解析】
（1）∵a1=a（a为常数，a∈R），an+1=2n-3an（n∈N*），
∴，又，∴．
数列bn的递推公式是．
（2）∵bn+1-c=q（bn-c）（n∈N*）
∴bn+1=qbn+c-qc
又由（1）可知，
∴，
∴
（3）由（2）知，数列是首项为公比为的等比数列．
∴
∴为所求的通项公式．
考察数列an，∵
1O．当时，，
此时数列an是递增数列．
2O．当时，
是正负相间出现，其绝对值是正常数，
而．
故当n充分大时，的值的符号
与的值的符号相同，即数列的项的值是正负相间出现的，
故数列an不可能是单调数列．
综上所述，当且仅当时，数列an是递增数列．