Question

一种填数字彩票2元一张，购买者在卡上依次填上0～9中的两个数字（允许重复）．中奖规则如下：
如果购买者所填的两个数字依次与开奖的两个有序数字分别对应相等，则中一等奖10元；
如果购买者所填的两个数字中，只有第二个数字与开奖的第二个数字相等，则中二等奖2元；
其他情况均无奖金．
（Ⅰ）小明和小辉在没有商量的情况下各买一张这种彩票，求他俩都中一等奖的概率；
（Ⅱ）设“购买一张这种彩票中一等奖”为事件A，“购买一张这种彩票中二等奖”为事件B，请指出事件A∪B的含义，并求事件A∪B发生的概率；
（Ⅲ）设购买一张这种彩票的收益为随机变量ξ，求ξ的数学期望．

Answer

（1）由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，小明中一等奖的概率是一个古典概型，试验发生的所有事件由分步计数原理知共有10×10种结果，满足条件的事件是1个，得到小明中一等奖的概率，由相互独立事件同时发生的概率公式得到结果．
（2）事件A∪B的含义是“买这种彩票中奖”，购买一张这种彩票能够中奖包括中一等奖或中二等奖，由第一问可知中一等奖的概率，算出中二等奖的概率，根据互斥事件的概率公式得到结果．
（3）对应不中奖、中二等奖、中一等奖，ξ的 取值可能为-2，0，8，然后求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式进行求解即可．
【解析】
（Ⅰ）由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，
小明中一等奖的概率是一个古典概型，
试验发生的所有事件由分步计数原理知共有10×10种结果，
满足条件的事件是1个，
小明（小辉）中一等奖的概率为P=0.01
由相互独立事件同时发生的概率公式得到
∴小明，小辉都中一等奖的概率为p=0.01×0.01=0.0001
（Ⅱ）事件A∪B的含义是“买这种彩票中奖”，或“买这种彩票中一等奖或中二等奖”
显然，事件A与事件B互斥，
所以，P（A∪B）=P（A）+P（B）=+=0.1
故购买一张这种彩票能中奖的概率为0.1．
（Ⅲ）对应不中奖、中二等奖、中一等奖，ξ的分布列如下：

 ξ -2 8
P 0.9 0.09 0.01

Eξ=-2×0.9+8×0.01=-1.72
购买一张这种彩票的期望收益为损失1.72元．