Question

设，其中实常数a≥-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和值域；
（Ⅱ）试研究函数f（x）的基本性质，并证明你的结论．

Answer

（Ⅰ）由函数的解析式易得定义域为R，由于a的取值范围不同，函数的值域形式不同，要分a=-1，a＞-1两种情况研究函数值域；
（II）函数的性质主要是批函数的单调性，奇偶性，根据函数的解析式，先判断出性质再依据定义证明即可．
【解析】
（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=-1，定义域为R 
当a＞-1时，由于1+2x＞0恒成立，所以函数f（x）的定义域为R
又，
当a＞-1时，因为2x＞0，所以2x+1＞1，
，从而-1＜f（x）＜a，
所以函数f（x）的值域为（-1，a）．
综上，当a=-1时，函数值为-1；当a＞-1时，函数值域是（-1，a）． 
（Ⅱ）假设函数f（x）是奇函数，则，对于任意的x∈R，有f（-x）=-f（x）成立，
即化简得（a-1）（1+2x）=0得a=1
∴当a=1时，函数f（x）是奇函数．
当a＞-1，且a≠1时，函数f（x）是非奇非偶函数．
∵对于任意的x1，x2∈R，且x1＜x2，a＞-1
有
当a＞-1时，函数f（x）是递减函数．