Question

如图，已知ABCD是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，且FB=2DE=2．
（1）求点E到平面FBC的距离；
（2）求证：平面AEC⊥平面AFC．

Answer

（1）由题意可得：DE∥BF，所以DE∥平面BFC，故点D到平面BFC的距离等于点E到平面BFC的距离．由题意可得DC⊥平面BFC，所以DC即为点D到平面BFC的距离，进而得到答案．
（2）连接BD交AC于O，连接OE、OF，所以AE=EC并且EO⊥AC．又因为在△EOF中，，，EF=3，所以OE⊥OF．又因为OE⊥AC，所以EO⊥平面AFC，根据面面垂直的判定定理即可得到面面垂直．
【解析】
（1）由题意可得：DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，
所以DE∥BF，
又因为DE⊄平面BFC，BF⊂平面BFC，
所以DE∥平面BFC，
故点D到平面BFC的距离等于点E到平面BFC的距离．
因为BF⊥平面ABCD，并且正方形ABCD中，DC⊥BC，
所以DC⊥平面BFC，
所以DC即为点D到平面BFC的距离，
所以点E到平面BFC的距离为2．
（2）连接BD交AC于O，连接OE、OF，
因为DE⊥平面ABCD，AD=DC，
所以AE=EC．
又因为O为AC的中点，
所以EO⊥AC．
又因为在△EOF中，，，EF=3，
所以OE⊥OF．
又因为OE⊥AC，所以EO⊥平面AFC．
又因为OE⊂平面ACE，
所以平面AEC⊥平面AFC．