Question

设复数z₁=sinα+i，z₂=m+（m-cosα）i，其中i为虚数单位，α∈[0，2π），m∈R，且z₁=z₂．
（1）求α的值；
（2）设t=cosα+isinα，求f（t）=1+t+t²+…+t^n-1（n∈N*）．

Answer

（1）根据复数相等的条件：实部和虚部对应相等列出方程，再由两角差的正弦公式和α的范围，求出α的值；
（2）根据（1）求出的α值，分两种情况进行求解，再由i2=-1对n进分类讨论求解．
【解析】
（1）由题意知，z1=sinα+i，z2=m+（m-cosα）i，
∵z1=z2，∴m=sinα，m-cosα=1，即sinα-cosα=1，∴，
由α∈[0，2π）得，，
∴或，即或α=π．
（2）由题意知，t=cosα+isinα，f（t）=1+t+t2+…+tn-1（n∈N*）
①当时，t=i，∴，
当n=4k（n∈N*）时，f（t）=0；当n=4k+1时，f（t）=1；当n∈N，n=4k+2时，f（t）=1+i；
当n=4k+3时，f（t）=i．
②当α=π时，t=-1，，
当n为奇数时，f（t）=1；当n为偶数时，f（t）=0．