Question

已知k∈R，a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，函数f（x）=a^x+k•b^x．
（1）如果实数a、b满足a＞1，ab=1，试判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）设a＞1＞b＞0，k≤0，判断函数f（x）在R上的单调性并加以证明；
（3）若a=2，，且k＞0，问函数f（x）的图象是不是轴对称图形？如果是，求出函数f（x）图象的对称轴；如果不是，请说明理由．

Answer

（1）根据已知条件，将代入函数表达式，得f（x）=ax+k•a-x，再利用奇函数和偶函数的定义，用比较系数的方法，得出函数奇偶性的两种不同情况；
（2）因为a＞1，0＜b＜1，根据指数函数单调性的定理，可得函数y=ax是增函数，y=bx减函数，再根据函数单调性的运算法则，得出函数f（x）=ax+k•bxR上的是增函数，最后用函数单调性的定义加以证明；
（3）根据函数f（x）=2x+k•2-x的图象是轴对称图形且对称轴是直线x=m，则函数f（x+m）是偶函数，即得到即对任意实数x，f（m-x）=f（m+x），代入表达式，采用比较系数法，可得2m-k•2-m=0，最终求出．
【解析】
（1）由已知，，于是f（x）=ax+k•a-x，则f（-x）=a-x+k•ax，…（1分）
若f（x）是偶函数，则f（x）=f（-x），即ax+k•a-x=a-x+k•ax，
所以（k-1）（ax-a-x）=0对任意实数x恒成立，所以k=1．…（3分）
若f（x）是奇函数，则f（-x）=-f（x），即a-x+k•ax=-（ax+k•a-x），
所以（k+1）（ax+a-x）=0对任意实数x恒成立，所以k=-1．…（5分）
综上，当k=1时，f（x）是偶函数；
当k=-1时，f（x）奇函数，
当k≠±1，f（x）既不是奇函数也不是偶函数．…（6分）
（2）因为a＞1，0＜b＜1，所以函数y=ax是增函数，y=bx减函数，
由k≤0知，y=ax+k•bx是增函数，所以函数f（x）在R是增函数．…（8分）
证明如下：
设x1、x2∈R且x1＜x2，
则=
因为a＞1，0＜b＜1，x1＜x2，k≤0，
所以，，
所以f（x2）-f（x1）＞0，
所以函数f（x）在R是增函数．…（11分）
（3）f（x）=2x+k•2-x，若函数f（x）的图象是轴对称图形，
且对称轴是直线x=m，则函数f（x+m）是偶函数，
即对任意实数x，f（m-x）=f（m+x），…（14分）
2m-x+k•2-（m-x）=2m+x+k•2-（m+x），
化简得（2x-2-x）（2m-k•2-m）=0，…（16分）
因为上式对任意x∈R成立，
所以2m-k•2-m=0，．…（17分）
所以，函数f（x）的图象是轴对称图形，其对称轴是直线．…（18分）