Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面为菱形的直四棱柱，P是棱DD₁的中点，∠BAD=60°，底面边长为2，若PB与平面ADD₁A₁成45°角，求点A₁到平面ACP的距离．

Answer

取AD的中点为E，连接BE，PB，则BE⊥ADD1A1，则∠EPB为PB与平面ADD1A1所成的角．依题意可分别计算出BE，PB，PD，DD1，进而以OA为x轴，OB为y轴，OO1为z轴建立空间直角坐标系，则A，C，P点可得，表示出和，设平面ACP的法向量=（x，y，z），求得x，y和z，把代入中可求得d．
【解析】
取AD的中点为E，连接BE，PB，则BE⊥ADD1A1，
∠EPB为PB与平面ADD1A1所成的角．
经计算BE=，PB=，PD=，DD1=2
以OA为x轴，OB为y轴，OO1为z轴建立空间直角坐标系，
A（，0，0），C（-，0，0），P（0，-1，），
=（2，0，0），=（，1，-），
设平面ACP的法向量=（x，y，z），
由得=（0，，1），
而=（0，0，4），所以d==