Question

已知F₁，F₂为椭圆C：的左右焦点，O是坐标原点，过F₂作垂直于x轴的直线MF₂交椭圆于M，设|MF₂|=d．
（1）证明：d，b，a 成等比数列；
（2）若M的坐标为（），求椭圆C的方程；
（3）在（2）的椭圆中，过F₁的直线l与椭圆C交于A、B两点，若，求直线l的方程．

Answer

（1）由条件知M点的坐标为（c，y），其中|y|=d，知，d=b•，由此能证明d，b，a成等比数列．
（2）由条件知，知，由此能求出椭圆方程．
（3）设点A（x1，y1）、B（x2，y2），当l⊥x轴时，A（-，-1）、B（-，1），所以． 设直线l的方程为y=k（x+），代入椭圆方程得再由韦达定理能够推导出直线l的方程．
【解析】
（1）证明：由条件知M点的坐标为（c，y），其中|y|=d，
∴，d=b•，…（3分）
∴，即d，b，a成等比数列．   …（4分）
（2）由条件知，∴，…（6分）
∴，
∴椭圆方程为，…（8分）
（3）设点A（x1，y1）、B（x2，y2），
当l⊥x轴时，A（-，-1）、B（-，1），所以．  …（9分）
设直线l的方程为y=k（x+），
代入椭圆方程得．…（11分）
所以…（13分）
由，得x1x2+y1y2=0，
，
代入得，解得k=．
所以直线l的方程为y=±．     …（16分）