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定义:如果数列{an}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长,则称{an}为“...

定义:如果数列{an}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长,则称{an}为“三角形”数列.对于“三角形”数列{an},如果函数y=f(x)使得bn=f(an)仍为一个“三角形”数列,则称y=f(x)是数列{an}的“保三角形函数”,(n∈N).
(1)已知{an}是首项为2,公差为1的等差数列,若f(x)=kx,(k>1)是数列{an}的“保三角形函数”,求k的取值范围;
(2)已知数列{cn}的首项为2010,Sn是数列{cn}的前n项和,且满足4Sn+1-3Sn=8040,证明{cn}是“三角形”数列;
(3)[文科]若g(x)=lgx是(2)中数列{cn}的“保三角形函数”,问数列{cn}最多有多少项.
[理科]根据“保三角形函数”的定义,对函数h(x)=-x2+2x,x∈[1,A],和数列1,1+d,1+2d,(d>0)提出一个正确的命题,并说明理由.
(1)先有条件得{an}是三角形数列,再利用f(x)=kx,(k>1)是数列{an}的“保三角形函数”,得到kn+kn+1>kn+2,解得k的取值范围; (2)先利用条件求出数列{cn}的通项公式,再证明其满足“三角形”数列的定义即可; (3)[文科]利用条件得到g(cn)是单调递减函数以及lgcn-1+lgcn>lgcn-2得,解此不等式找到对应的范围即可得出结论. [理科]根据函数h(x)=-x2+2x,x∈[1,A]是数列1,1+d,1+2d(d>0)的“保三角形函数”,可以得到①1,1+d,1+2d(d>0)是三角形数列,所以1+1+d>1+2d,即o<d<1,②数列中的各项必须在定义域内,即1+2d≤A,③h(1),h(1+d),h(1+2d)是三角形数列;结论为在利用h(x)=-x2+2x,x∈[1,A]是单调递减函数,就可求出对应d的范围. 【解析】 (1)显然an=n+1,an+an+1>an+2对任意正整数都成立, 即{an}是三角形数列.(2分) 因为k>1,显然有f(an)<f(an+1)<f(an+2), 由f(an)+f(an+1)>f(an+2)得kn+kn+1>kn+2,解得k<. 所以当k∈(1,)时,f(x)=kx是数列{an}的“保三角形函数”.(5分) (2)由4Sn+1-3Sn=8040得4Sn-3Sn-1=8040,两式相减得4cn+1-3cn=0 所以,cn=2010, 经检验,此通项公式满足4Sn+1-3Sn=8040 (7分) 显然cn>cn+1>cn+2,因为cn+1+cn+2=2010+2010=•2010>cn, 所以{cn}是“三角形”数列.(10分) (3)[文科]因为g(cn)是单调递减函数,所以,由lgcn-1+lgcn>lgcn-2得 lg2010+(n-2)lg+lg2010+(n-1)lg>lg2010+(n-3)lg(14分) 化简得lg2010>nlg,解得n<26.4, 即数列{bn}最多有26项.(18分) (3)[理科]探究过程:函数h(x)=-x2+2x,x∈[1,A]是数列1,1+d,1+2d(d>0)的“保三角形函数”,必须满足三个条件: ①1,1+d,1+2d(d>0)是三角形数列,所以1+1+d>1+2d,即o<d<1. ②数列中的各项必须在定义域内,即1+2d≤A. ③h(1),h(1+d),h(1+2d)是三角形数列. 由于h(x)=-x2+2x,x∈[1,A]是单调递减函数,所以h(1+d)+h(1+2d)>h(1),解得0<d<.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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