Question

已知向量，且x∈[0，]，
（1）用x表示向量与的夹角大小；
（2）若f（x）=-2λ||的最小值是-，求λ的值．

Answer

（1）先求出两个向量的数量积，再根据向量的夹角计算公式结合x∈[0，]即可得到答案；
（2）先求出函数f（x）的表达式，再利用换元法结合二次函数的最值求法即可得到答案．
【解析】
（1）•=coscos-sinsin=cos2x，…（1分）
设向量与的夹角大小为θ，则cosθ==cos2x，…（2分）
且x∈[0，]，2x∈[0，π]，所以向与的夹角大小为2x．…（4分）
（2）∵||===2cosx…（6分）
所以f（x）=•-2λ||
=cos2x-2λ×2cosx=2（cosx-λ）2-1-2λ2 …（8分）
设t=cosx，则t∈[0，1]，所以g（t）=2（t-λ）2-1-2λ2
①当λ＜0时，g（t）在[0，1]上是增函数，则[f（x）]min=[g（t）]min=-1≠-…（10分）
②当λ∈[0，1]时，则[f（x）]min=-1-2λ2=-，则λ=±（-不符合题意，舍去）…（12分）
③当λ＞1时，g（t）在[0，1]上是减函数，则[f（x）]min=g（1）=1-4λ=-，λ=（不符合题意，舍去）…（14分）
综上所述，λ=…（16分）