Question

将数列{a_n}中的所有项按第一行排3项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
记表中的第一列数a₁，a₄，a₈，…，构成数列{b_n}．
（Ⅰ）设b₈=a_m，求m的值；
（Ⅱ）若b₁=1，对于任何n∈N^*，都有b_n＞0，且（n+1）b_n+1²-nb_n²+b_n+1b_n=0．求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列{b_n}，若上表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为q（q＞0）的等比数列，且a₆₆=，求上表中第k（k∈N^*）行所有项的和s（k）．

Answer

（Ⅰ）由题设条件可以知道，m=3+4+5+6+7+8+9+1=43．
（Ⅱ）根据题意知，因此，，…，，将各式相乘得．
（Ⅲ）设上表中每行的公比都为q，表中第1行至第9行共含有数列bn的前63项，故a66在表中第10行第三列．由此可求出上表中第k（k∈N*）行所有项的和s（k）．
【解析】
（Ⅰ）由题意，m=3+4+5+6+7+8+9+1=43，（4分）
（Ⅱ）由（n+1）bn+12-nbn2+bn+1bn=0，bn＞0，
令得t＞0，且（n+1）t2+t-n=0（6分）
即（t+1）[（n+1）t-n]=0，
所以（8分）
因此，，…，
将各式相乘得（10分）
（Ⅲ）设上表中每行的公比都为q，且q＞0．
因为3+4+5+…+11=63，（12分）
所以表中第1行至第9行共含有数列bn的前63项，
故a66在表中第10行第三列，（14分）
因此．又，所以q=2．则．k∈N*（16分）