Question

已知动直线y=kx交圆（x-2）²+y²=4于坐标原点O和点A，交直线x=4于点B，若动点M满足，动点M的轨迹C的方程为F（x，y）=0．
（1）试用k表示点A、点B的坐标；
（2）求动点M的轨迹方程F（x，y）=0；
（3）以下给出曲线C的五个方面的性质，请你选择其中的三个方面进行研究，并说明理由（若你研究的方面多于三个，我们将只对试卷解答中的前三项予以评分）．
①对称性；（2分）
②顶点坐标（定义：曲线与其对称轴的交点称为该曲线的顶点）；（2分）
③图形范围；（2分）
④渐近线；（3分）
⑤对方程F（x，y）=0，当y≥0时，函数y=f（x）的单调性．（3分）

Answer

（1）将直线的方程代入圆的方程，得到点A、直线和直线的方程联立得出点B的坐标从而解决问题．
（2）利用向量的坐标关系式得出点M的参数方程为（k为参数），消去参数k，得动点M的轨迹方程F（x，y）=0；
（3）①关于对称性；将方程中的（x，y）换成（x，-y），方程的形式不变，则曲线C关于x轴对称．
②关于顶点坐标，曲线C的顶点为（0，0）；在方程x3+xy2-4y2=0中，令y=0，得x=0．则曲线C的顶点坐标为（0，0）．
③关于图象范围：0≤x＜4，y∈R；，得0≤x＜4，y∈R．
④关于渐近线，直线x=4是曲线C的渐近线；0≤x＜4，，当x→4时，y→∞．则直线x=4是曲线C的渐近线．
⑤关于单调性：当y≥0时函数y=f（x）在[0，4）上单调递增．
【解析】
（1），得或，
即点.，得，即点B（4，4k）．…4分
（2），则点M的参数方程为（k为参数），
消去参数k，得x3+xy2-4y2=0．…8分
（3）①关于x轴对称；
将方程中的（x，y）换成（x，-y），方程的形式不变，则曲线C关于x轴对称．
②曲线C的顶点为（0，0）；
在方程x3+xy2-4y2=0中，令y=0，得x=0．则曲线C的顶点坐标为（0，0）．
③图象范围：0≤x＜4，y∈R；，得0≤x＜4，y∈R．
④直线x=4是曲线C的渐近线；0≤x＜4，，当x→4时，y→∞．则直线x=4是曲线C的渐近线．
⑤当y≥0时函数y=f（x）在[0，4）上单调递增；．设0≤x1＜x2＜4，则=．
则y12＜y22，即y1＜y2，所以当y≥0时函数y=f（x）在[0，4）上单调递增．