Question

已知数列{a_n}的前n项和为A_n，且对任意正整数n，都满足：ta_n-1=A_n，其中t＞1为实数．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n为杨辉三角第n行中所有数的和，即b_n=C_n+C_n¹+…+C_nⁿ，B_n为杨辉三角前n行中所有数的和，亦即为数列{b_n}的前n项和，求的值．

Answer

（1）涉及通项及前n项和，通常是再写一式，两式相减，进而可得相邻项之间的关系，从而利用数列为等比数列，可求数列{an}的通项公式；
（2）分别求出前n项和为An，Bn，再求极限，注意分类讨论．
【解析】
（1）由已知tan+1-1=An+1，tan-1=An，相减得tan+1-tan=an+1，由t-1＞0得，又ta1-1=a1，得，故数列{an}是一个以为首项，以为公比的等比数列．（4分）
从而n∈N*；                   （6分）
（2），（7分）
又bn=Cn+Cn1+…+Cnn=2n，故Bn=2（2n-1），（11分）
于是，
当，即t=2时，，
当，即t＞2时，，
当，即1＜t＜2时，不存在．（14分）