Question

如图，已知点H（-3，0），动点P在y轴上，点Q在x轴上，其横坐标不小于零，点M在直线PQ上，且满足，．
（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；
（2）过定点F（1，0）作互相垂直的直线l与l'，l与（1）中的轨迹C交于A、B两点，l'与（1）中的轨迹C交于D、E两点，求四边形ADBE面积S的最小值；
（3）（在下列两题中，任选一题，写出计算过程，并求出结果，若同时选做两题，
则只批阅第②小题，第①题的解答，不管正确与否，一律视为无效，不予批阅）：
①将（1）中的曲线C推广为椭圆：，并
将（2）中的定点取为焦点F（1，0），求与（2）相类似的问题的解；
②（解答本题，最多得9分）将（1）中的曲线C推广为椭圆：，并
将（2）中的定点取为原点，求与（2）相类似的问题的解．

Answer

（1）设M（x，y），P（0，b），Q（a，0）（a≥0），，，，由，得0，从而，，由，得HP⊥PM，由此能求出M的轨迹C．
（2）设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0），直线l'的方程为，（k≠0），设A（x1，y1）、B（x2，y2），由，得ky2-4y-4k=0，故，同理|DE|=4（1+k2）由此能求出四边形ADBE面积S的最小值．
（3）①当k≠0时设直线l的方程为y=k（x-1），由，得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，故，，由此能求出四边形ADBE面积S的最小值．
②由题设，设直线l的方程为y=kx，当k≠0时，由，得（b2+a2k2）x2-a2b2=0，所以，同理，由此能求出四边形ADBE面积S的最小值．
【解析】
（1）设M（x，y），P（0，b），Q（a，0）（a≥0），易知，，，由题设，
得其中a≥0，从而，，且x≥0，
又由已知，得HP⊥PM，
当b≠0时，y≠0，此时，得，
又kPM=kPQ，故，，即，y2=4x（x≠0），
当b=0时，点P为原点，HP为x轴，PM为y轴，点Q也为原点，从而点M也为原点，因此点M的轨迹C的方程为y2=4x，它表示以原点为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线；                                         （4分）
（2）由题设，可设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0），直线l'的方程为，（k≠0），又设A（x1，y1）、B（x2，y2），
则由，消去x，整理得ky2-4y-4k=0，
故，同理|DE|=4（1+k2），（7分）
则，当且仅当k=±1时等号成立，因此四边形ADBE面积S的最小值为32．（9分）
（3）①当k≠0时可设直线l的方程为y=k（x-1），
由，得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，
故，，（12分），
当且仅当k2=1时等号成立．（14分）
当k=0时，易知，，得，故当且仅当k2=1时四边形ADBE面积S有最小值．（15分）
②由题设，可设直线l的方程为y=kx，当k≠0时，由，
消去x，整理得（b2+a2k2）x2-a2b2=0，得，
同理，（12分）
则，其中k2＞0，
若令u=1+k2，则由=，其中u＞1，即，故当且仅当u=2，即k2=1时，v有最大值，由，得S有最小值，故当且仅当k=±1时，四边形ADBE面积S有最小值为．（17分）
又当k=0时，|AB|=2a，|DE|=2b，此时S=2ab，由，得当且仅当k=±1时，四边形ADBE面积S有最小值为．（18分）