Question

设数列{a_n}（n=1，2，…）是等差数列，且公差为d，若数列{a_n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．
（1）若a₁=4，d=2，求证：该数列是“封闭数列”；
（2）试判断数列a_n=2n-7（n∈N^*）是否是“封闭数列”，为什么？
（3）设S_n是数列{a_n}的前n项和，若公差d=1，a₁＞0，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使（+…+）=；若存在，求{a_n}的通项公式，若不存在，说明理由．

Answer

（1）an=4+（n-1）•2=2n+2，对任意的m，n∈N*，有am+an=（2m+2）+（2n+2）=2（m+n+1）+2，由此能够证明该数列是“封闭数列”．
（2）由a1=-5，a2=-3，知a1+a2=-8，令an=a1+a2=-8，所以2n-7=-8，n=-，由此能够证明数列an=2n-7（n∈N+）不是封闭数列．
（3）由{an}是“封闭数列”，得：对任意m，n∈N+，必存在p∈N+使a1+（n-1）+a1+（m-1）=a1+（p-1）成立，
于是有a1=p-m-n+1为整数，由此能够推导出an=n+1（n∈N+），该数列是“封闭数列”．
【解析】
（1）证明：an=4+（n-1）•2=2n+2，
对任意的m，n∈N*，有
am+an=（2m+2）+（2n+2）=2（m+n+1）+2，
∵m+n+1∈N+，
于是，令p=m+n+1，
则有ap=2p+2∈{an}．
∴该数列是“封闭数列”．
（2）∵a1=-5，a2=-3，
∴a1+a2=-8，
令an=a1+a2=-8，
∴2n-7=-8，n=-，
所以数列an=2n-7（n∈N+）不是封闭数列．
（3）【解析】
由{an}是“封闭数列”，
得：对任意m，n∈N+，
必存在p∈N+使
a1+（n-1）+a1+（m-1）=a1+（p-1）成立，
于是有a1=p-m-n+1为整数，
又∵a1＞0，
∴a1是正整数．
若a1=1，则，
所以=2，
若a1=2，则，
所以=，
若a1≥3，则，
于是，
所以，
综上所述，a1=2，
∴an=n+1（n∈N+），
显然，该数列是“封闭数列”．