Question

在所有棱长都相等的三棱锥P-ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个命题：①BC∥平面PDF；②DF∥平面PAE；③平面PDF⊥平面ABC；④平面PDF⊥平面PAE，其中正确命题的序号为    ．

Answer

作出图形，：①BC∥平面PDF可用线面平行的判定定理判断；②DF∥平面PAE可用线面平行的判定定理判断；③平面PDF⊥平面ABC，可用面面垂直的判定理判断；④平面PDF⊥平面PAE，可用面面垂直的判定理判断．
【解析】
①由图形及题设条件知，DF是中位线，易知DF∥BC，进而可证明出BC∥平面PDF，命题成立；
②由图形知，DF与AE相交，故DF∥平面PAE 不可能成立
③由图形及题设条件P在底面ABC上的投影不在中位线DF上，故平面PDF⊥平面ABC不成立，是假命题；
④由题设条件可证得BC⊥平面PAE，再由DF∥BC证得DF⊥平面PAE，即可得到平面PDF⊥平面PAE，命题成立
故答案为：①④