Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，E，F，G分别是AA₁，AC，BB₁的中点，且CG⊥C₁G．
（Ⅰ）求证：CG∥平面BEF； 
（Ⅱ）求证：CG⊥平面A₁C₁G．

Answer

（I）要证明CG∥平面BEF，即证明平面BEF中存在一条直线与CG平行，连接AG交BE于D，则DF符合要求，证明DF∥CG后，利用线面平行的判定定理，即可得到答案．
（II）若要证明CG⊥平面A1C1G，我们可以证明平面A1C1G中有两条相交直线与CG垂直，根据已知中直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，E，F，G分别是AA1，AC，BB1的中点，且CG⊥C1G，结合线面垂直的判定定理，即可得到答案．
证明：（Ⅰ）连接AG交BE于D，连接DF，EG．
∵E，G分别是AA1，BB1的中点，
∴AE∥BG且AE=BG，∴四边形AEGB是矩形．
∴D是AG的中点（3分）
又∵F是AC的中点，
∴DF∥CG（5分）
则由DF⊂平面BEF，
CG⊄平面BEF，
∴CG∥平面BEF，
（Ⅱ）∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，C1C⊥底面A1B1C1，
∴C1C⊥A1C1．
又∵∠A1C1B1=∠ACB=90°，
即C1B1⊥A1C1，
∴A1C1⊥面B1C1CB（9分）
而CG⊂面B1C1CB，
∴A1C1⊥CG（12分）
又CG⊥C1G，∴
CG⊥平面A1C1G（14分）