Question

如图，已知椭圆（a＞b＞0）的左顶点，右焦点分别为A、F，右准线为m．圆D：x²+y²+x-3y-2=0．
（1）若圆D过A、F两点，求椭圆C的方程；
（2）若直线m上不存在点Q，使△AFQ为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围．
（3）在（1）的条件下，若直线m与x轴的交点为K，将直线l绕K顺时针旋转得直线l，动点P在直线l上，过P作圆D的两条切线，切点分别为M、N，求弦长MN的最小值．

Answer

（1）根据已知圆求出与x轴交点坐标，然后求出b，写出椭圆方程．
（2）设出直线m与x轴的交点，根据题意FQ≥FA，化简即可．
（3）根据已知圆求出圆心半径，再根据PM⊥MD，求出最值．
【解析】
（1）圆x2+y2+x-3y-2=0与x轴交点坐标为，A（-2，0），F（1，0），
故a=2，c=1，
所以，
椭圆方程是：
（2）设直线m与x轴的交点是Q，
依题意FQ≥FA，
即，
，
，，
2e2+e-1≤0，．
（3）直线l的方程是x-y-4=0，
圆D的圆心是，半径是，
设MN与PD相交于H，则H是MN的中点，
且PM⊥MD，

当且仅当PD最小时，MN有最小值，
PD最小值即是点D到直线l的距离是
，
所以MN的最小值是．